电导率、弱局域化、与量子混沌(上)

2020-07-25
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理论物理学的目的是为物理现象提供一些定量的描述。也因此一个完整的物理理论,应该能计算一些可观测的物理量。基于人类对电磁现象的掌握,在可测量的一系列物理量中,电阻率(resistivity),或者是它的倒数,电导率(conductivity),大概是最直接的对象了,也因此,本文想趁机谈谈在一些问题中,物理学家如何从理论模型中得到电导率,而又有哪些因素会影响电导率。

电导率或者电导之所以直觉,是因为他的定义单纯:只消在实验室中打开一个电场(或电位差),然后量测电流的响应[1],电导率即是电流与电场间[2]的比例常数。

电流可以想成是微观带电粒子流动造成的现象。如果系统内的带电粒子在外加电场中,长时间尺度下拥有一个平均的漂移速度(drift velocity)巨观而言我们会看到带电的粒子流往某个方向走,就是电流。要研究电流,核心的问题就是粒子在施加电场后有多会跑。

在剩下的篇幅我们尝试谈论这个问题跟一些特徵的时间尺度。

电导率、弱局域化、与量子混沌(上)

图一:计算 weak localization 时会遭遇的 Feynman 图。(我觉得他们看起来满可爱的。)

从最古典的图像出发,一个带电粒子在电场下感受到电磁力,依循牛顿定律 F = ma 进行加速度运动。如果没有东西去拦着它,它就会越跑越快,如此一来,长时间下测量到的电导率会是无限大。然而,在一个系统中,还有许多许多的带电粒子跟其他原子等等结构,上述的粒子没有办法畅快地加速,反之,它会步履蹒跚地一路碰撞。简约地描述这些碰撞效果的参数是「弛豫时间」(relaxation time),它代表平均而言,这个粒子多久会遭遇一次碰撞,这个效果等同一个阻力,长时间下来会形成「力平衡」[3],而粒子们终将达到飘移速率,反映成有限的直流电导率。[4]

接着来想量子效应带来什幺效果[5]。

在量子力学的框架下,粒子具有波动性,谈论一个粒子的绝对位置已经不合适(因为我们还要谈论它的动量、能量)根据不确定性原理(uncertainty principle),粒子位置的精确度只能[6]到达它的德布罗伊波长(de Broglie wavelength),这个波长定义了一个长度的尺度,如果这个波长跟「平均自由径」[7]相比很小,使得这个波包看起来还是像个粒子,我们便称这个问题是準古典(semi-classical)的。

电导率、弱局域化、与量子混沌(上)

图二:以费曼图计算电导时在古典与第一阶量子修正中需要计算的图。

根据费曼,一个粒子从一个点 A 到另一个点 B,它会考虑所有可能的路径,每一条路径都贡献一个机率振幅,将所有的机率振幅加总取绝对值平方后,就是粒子从点 A 到点 B 的机率。在準古典的极限,因为不同路径间的波包的破坏性干涉,贡献最大的的确是个别路径的机率和。

若今天 A 跟 B 是同一个点 O,意即考虑一个粒子从某点出发后,又回到原来那一点的机率,上面这个论述依旧成立,但值得注意的是有些路径间两个波可以有「建设性干涉」(见图三),简单的估计可以发现,考虑这些量子的建设性干涉,粒子回到原点的机率是古典的 2 倍!

电导率、弱局域化、与量子混沌(上)

图三:计算从某一点出发回到原点的机率时,蓝路径跟红路径(基本上就是蓝路径的倒带版本)会有建设性干涉,也因此当考虑量子效应,粒子会比较想要回到原处。

当粒子比较容易回到原点,就表示它比较不容易流走,也从而提升了电阻、减弱了电导。此现象的基础是物质波之间的干涉,但波与波之间的相干性(coherence)很可能在与杂质散射的过程中减弱,这个效果在现象学上由另外一个时间尺度「相干时间」(coherence time)描述,代表平均经历多长的时间,波包间会丧失相干性。在低温,这个与杂质和交互作用强度无关,而跟空间维度有关的现象称为弱局域化(weak localization)。在2维系统局域化的强度正比于相干时间与弛豫时间的比值的对数。

至于混沌现象如何切入来影响弱局域化的结论,就让我们在下文讨论。

连结:电导率、弱局域化、与量子混沌(下)


参考资料:

L. Altshuler, A. G. Aronov, A. I. Larkin, D. Khmel’nitskii, Anomalous Magnetoresistance in Seminconductors, J. Exp. Theor. Phys. 54, 411 (1981).

注解:

[1] 当然实际上的操作没这幺单纯,但大概念上是如此。

[2] 更精确地讲是电流密度与电场间。

[3] 瞬时来看当然没有平衡,这是一个长时间后的净效果。

[4]这个看法在量子力学出现以前已经存在,教科书中称之为 Drude model,令人惊讶的是,即便考虑第一阶的量子力学修正,整个解的形式并没有改变,仅仅修正弛豫时间的强度。

[5] 读者们可以去複习某一期探索,这边讲述的术语应该在那里都找得到。

[6] 我并不是在说量测,而是即便在理论上「谈论」,我都不应该超过这个精确度。

[7]约略而言是弛豫时间乘上费米速度,也就是一个粒子平均走多远会碰撞一次。原则上是要考虑经过量子修正的,因为不是所有的碰撞都会影响电导的效能。

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